薬学生がコンピュータ科学を独学する/２の補数記法とオーバーフロー
- 作者: J. Glenn Brookshear,神林靖,長尾高弘
- 出版社/メーカー: KADOKAWA/アスキー・メディアワークス
- 発売日: 2014/02/18
- メディア: 大型本
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今日は予告通り，上記の書籍で学んだことを復習がてら紹介したいと思います．
現在２の補数記法がコンピュータへの整数の格納に使用されています．
（他にもいろんな記法があるみたいですが，今日はそのうちの１つを紹介します）
これを勉強するとコンピュータエラーの原因の１つが分かって少し楽しいのです．
電卓なんかで，あるケタ以上計算できないってありますよね．
コンピュータのメモリの限界のしくみが少し分かった気になります．
さて，この２の補数記法を学ぶ前に，まず２進法を簡単に知っておく必要があります．
我々が普段使用しているのは，１０進数です．
人間が指で１０まで数えたからだと言われていますが，
１０になったらケタがあがるんですね．
０から９まで数えて，次は９を消して０に戻して，左側に１を足して１０と書く．
これが２進数だと０，１と数えたところで０に戻して左に１を足して１０と書きます．
２進数の１０と１０進数の１０は違うのです．
１０の次は１１，その次は１００，１０１，１１０，１１１，１０００となります．
順番に数えるには，なかなか慣れが必要そうです．
さて，今日のコンピュータで整数を表現する最も一般的な体系は，２の補数記法です．
この表記法では，体系中の各値を表現するのに固定長のビット列を使用します．
今日の装置（例えば電卓）では各値を３２ビットのパターンとして表現する２の補数体系が一般に使用されています．
１ビットは（０か１）です．２ビットで２ケタ目を表現します．
書籍では３ビットを例として挙げています．
枠内を見ながらの方が分かりやすいかと思います．
０００からはじめて，最左端の０の後にすべて１が続くパターンを得るまで２進法で
数えて行きます．これらのパターンは値０,１,２,３を表現します．
負の値は１１１からはじめて，最左端の１の後にすべて０が続くパターンを得るまで
２進法で逆に数えて行きます．
これらのパターンは-１,-２,-３,-４を表現しています．
３ビット ４ビット
ビットパターン/表現する値 ビットパターン/表現する値
011 / 3 0111 / 7
010 / 2 0110 / 6
001 / 1 0101 / 5
000 / 0 0100 / 4
111 / -1 0011 / 3
110 / -2 0010 / 2
101 / -3 0001 / 1
100 / -4 0000 / 0
1111 / -1
1110 / -2
:
1010 / -6
２の補数記法では最左端のビットは値の符号を表しています（符号ビット）
また，絶対値が同じ正の値と負の値（例えば２と−２）を表現する
ビットパターン間には簡潔な関係があります．
右から左に歩みを進めていくと最初の１に至るまでは同一であり，
そこから先は０と１が互いに補なパターンです．
ここから２の補数表現を解読するアルゴリズムが得られます．
符号ビットが０であれば，（０１１０の場合）
そのまま符号ビットを除いて２進法で数えればいい．
２進法の１１０は，１０進法では６です．
符号ビットが１であれば，（１０１０の場合）
右から数えて最初の１まではそのまま書いて，次からは反転させます（０１１０）
これが６なので，１０１０はー６となります．
この記法の長所として，加算と減算を同じアルゴリズムでこなせるというところです．
例えば減算問題７−５は，加算問題７＋（−５）と同じです．
したがって装置が７（０１１１として格納されている）から５（０１０１として格納されている）を引かなければならないとしたら，まず５を−５（１０１１）に変換して，
その上で加算すればいい．
加算回路と値を負にする回路があれば，加算と減算の問題を解く事ができて便利なのですね．
ですが，２の補数体系には弱点があります．
表現できる値のサイズに限界があります，
上の枠内の４ビットパターンで最大の正の整数は７であり，最小の負の数は−８です．
つまり５+４の正解である値９は得られません．
実際に計算してみると，結果は−７と表現されてしまいます．
このような現象をオーバーフローと呼ぶらしいです．
もちろんほとんどのコンピュータは３２ビットと長いパターンを使用しているので，
簡単にオーバーフローはしませんが，このような理由でコンピュータの計算には限界があるようです．
お分かりいただけたでしょうか．
教科書からだいぶ省いた説明ですので，
洋書にみられる巧みな表現ができていないかもしれません．
興味がありましたら，書籍の購入をお勧めします．
３８００円はこの手の本にしては安いと思います．
実は独学でいろいろと作りたくて
こんな本に手を出している薬学生です．
これから少しずつコンピュータ科学を学んでいく予定です．
以前初めて購入したPIC（１２F６８３）は８ビット（１バイト）なのですね．
ド素人の医療学生がPICマイコンでLEDを点滅させる！悪戦苦闘の４時間 - 某博士課程のblog 2
つまり今回の２の補数記法では２の７乗（１２８で計算あってる？）
までしか計算できないと！
貧弱すぎる！
んなわけないよなぁ・・・
なんだろう
自分の知らない事情がありそうだ（もしくは勘違いか）
これからゆっくり探っていくとしますか
楽しみすぎる．
早く国家試験終わってほしいな・・・
２の補数記法初めて知った！
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